Перейти к содержанию

Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение|(x — 1)2 — 21-a| + |x — 1| + (1 — x)2 + 2a-1 = 4 + 4aимеет единственное решение

Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение

|(x — 1)2 — 21-a| + |x — 1| + (1 — x)2 + 2a-1 = 4 + 4a

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a


Пусть число x  — решение данного уравнения при некотором значении параметра a. Тогда число (2-x) есть его решение при том же значении a. Если решение единственно, то решения 2 — x и x совпадают, то есть

Подставив это решение в исходное уравнение, получим:

откуда a = -1

Пусть a = -1. Тогда исходное уравнение примет вид

Отсюда следует, что 

, следовательно, 

Исходное уравнение принимает вид 

,  и оно имеет единственное решение x = 1,  удовлетворяющее условию 

. Следовательно, a = -1 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: при a = -1 единственное решение x = 1