Перейти к содержанию

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.


а) Диагонали ромба перпендикулярны, проекциями этих диагоналей на плоскость ABCD являются диагонали прямоугольника ABCD, которые также должны быть перпендикулярны. Значит ABCD – квадрат.

б) Из доказанного следует, что треугольники BCN, BAM, D1A1M, D1C1N равны по катету и гипотенузе, откуда M и N являются серединами рёбер AA1 и CC1 соответственно.

Проведем перпендикуляр из M к плоскости BCC1 – MK. Из точки K проведем перпендикуляр к BN, получим точку Н. Угол MHK – искомый линейный угол между плоскостями.

Из треугольника BKN с катетами 3 и 4 находим высоту КН = 12/5.

По построению КМ = 4, поэтому угол MHK найдется:

∠ МНК = arctg MK/KH = arctg 5/3.

Ответ: а) ч.т.д.; б) arctg 5/3.